Исследовательская работа «Какая функция лучше всего описывает кривую?»

Для работы выбрал гору Фудзи (Токио, Япония) для фотосессии (фото 1).

(attēls 1)

Я выбрал фото, потому что в тот момент казалось, что форма горы на фото чем-то напоминает квадратичный график, т. в туннели или подбородок Эдварда Камарута).

Я поместил изображение в приложение «GeoGebra Classic 6» (см. рис. 2).

(attēls 2)

Я оставил 11 точек (от точки С до точки О) которые я думаю описал хорошо и правильно

форму соответствующего выступа земной литосферной плиты (см. рис. 3).

(attēls 3)

Я хотел выяснить, какая функция лучше всего описывает положение точек, и, поскольку в моем представлении она напоминала график квадратичной функции, я создал саму квадратичную функцию. Квадратичная функция может быть записана несколькими способами, например,

𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑛

где 𝑦 и 𝑥 — переменные, 𝑎 — направление и коэффициент наклона ветвей параболы, ℎ и 𝑛 — координаты вершины графика функции (ℎ;𝑛). Функцию можно записать в виде

𝑦 = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

где 𝑦 и 𝑥 — переменные, а 𝑥1 и 𝑥2 — точки пересечения графика функции с осью 𝑥 при 𝑦 = 0.

Однако на этот раз я написал функцию в форме

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

где 𝑦 и 𝑥 — переменные, а 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — параметры функции.

Для создания квадратичной функции я выбрал три координаты отложенных точек, которые, по моему мнению, могли бы хорошо описать график функции, и создал три отдельных уравнения с вставленными в них координатами точек. Я выбрал точки J (0;0), N(4;-2) и O(6;-2,62). Ниже вы можете увидеть все три уравнения с координатами вставленных точек. Точка J:

0 = 02𝑎 + 0𝑏 + 𝑐

Точка N:

−2 = 42𝑎 + 4𝑏 + 𝑐

Точка O:

−2,62 = 62𝑎 + 6𝑏 + 𝑐

Далее я выяснил каждый параметр методом исключения Гаусса:

0 = 0𝑎 + 0𝑏 + 𝑐

{ −2 = 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 −2,62 = 36𝑎 + 6𝑏 + 𝑐

𝑐 = 0 { 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = −2 36𝑎 + 6𝑏 + 𝑐 = −2,62

Поскольку 𝑐 = 0, я могу исключить его из двух других уравнений, поскольку оно никак на них не влияет.

𝑐 = 0 { 16𝑎 + 4𝑏 = −2 36𝑎 + 6𝑏 = −2,62

Далее я вычисляю параметр 𝑎 в двух нижних примерах методом сложения.

𝑐





𝑐 = 0 {36𝑎 + 6𝑏 = −2,62 24𝑎 = 0,76

𝑎

Затем значение 𝑎 подставляется в оставшееся уравнение с двумя переменными.

𝑐

𝑎

𝑐

𝑎

В результате получаются все значения параметров квадратичной функции и выглядит это так:

𝑦

График полученной функции показан ниже (рис. 4).

(attēlā 4)

Как видно, фантастически полученная функция не описывает качественно положение всех точек на графике, поскольку только 6 из отложенных точек находятся на графике или относительно близко к нему. Я пришел к выводу, что для создания квадратичной функции, качественно описывающей положение всех точек на графике, нельзя выбирать точки только с одной стороны возможной параболы (как я успешно продемонстрировал на предыдущей странице и на рисунке 4), поэтому я выбрал еще три точки, на этот раз точки J (0;0), O(6;-2,62), E (-6,37,-2,56), где точка J будет приблизительной вершиной графа возможная квадратичная функция, но каждая точка O и E будет на своей ветви.

Как я показал на предыдущей странице, я использую ту же версию квадратичной функции с возможностью записи (𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) и использую метод Гаусса для определения новых параметров моей квадратичной функции.

На этот раз, используя интернет-сайт wolframalpha.com, я получаю следующую квадратичную функцию:

𝑦 = −0,067789𝑥2 − 0,029932𝑥

Ввожу полученные функции в приложение "GeoGebra Classic 6" и просматриваю полученный график (рисунок 5).

(attēls 5)

Поскольку я хочу сравнить самостоятельно созданную функцию с созданным уравнением регрессии в этой отдельной работе, я также создал само уравнение регрессии.

На практике уравнение регрессии обычно строят с помощью метода «наименьших квадратов», при котором автор графика пытается построить его с как можно меньшей суммой квадратов разности между координатами y каждой точки и значение координаты y противоположной точки возможной кривой для всех отложенных точек. В этом случае отличным помощником является уже используемое приложение «Geogebra Classic 6», в котором с помощью нескольких кликов и острого слуха на уроках математики можно получить необходимое уравнение регрессии. Во-первых, уже отмеченные мною точки в подразделе "Электронная таблица" раздела "Вид" приложения перезаписывают уже существующие точки (см. рис. 6),

(рисунок 6) Я выбираю эти точки и, нажав на иконку «Анализ переменных» в левом верхнем углу, выбираю опцию «Анализ регрессии с двумя переменными». После этого я установил модель регрессии в виде полинома (в левом нижнем углу только что появившегося нового окна). Полученная модель регрессии (рис. 7), а также уравнение регрессии:

𝑦 = −0,062343𝑥2 − 0,046327𝑥 − 0,449803

(attēls 7)

В отличие от квадратичной функции, которую я создал, используя только три точки, которые, по моему мнению, лучше всего описывают положение всех точек на плоскости, модель регрессии была создана с использованием всех заданных точек, поэтому в отличие от графика функции, который я создал, график уравнения регрессии представляет собой не предполагается через как минимум три точки (для созданной мной квадратичной функции так и должно быть, потому что я создал ее, используя соответствующие три точки, через которые должен проходить график квадратичной функции, как показано на рисунке 5; если это не бывает, то нужно искать ошибку в расчетах ваших параметров).

Если сравнить два получившихся графика — график уравнения, которое я создал, и график уравнения регрессии, то можно сделать вывод, что

1) Мне удалось получить коэффициенты при 𝑎 даже относительно близко, по&#x44